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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 .n&P6W%U  
'`wu4,B  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. G'M,\w0 @r  
w4<P1u9Y^  
　　1、三角函数本质： Mf/XVqTs  
8~h!U,aU~  
　　三角函数的本质来源于定义 z mKE\C(  
y:92Y=  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 4-Qmp&  
|uT:#{  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 -ihnRPt<  
 A; >M  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： X-u'8X;Sy  
8y.C U~%  
　　推导： 'MJ^'V  
U J_mWhHd  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 "J ?{h  
*HU pYx<]  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 'Z woGt  
<@vw*2^~S  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) E TX\iO  
9mLLgQ8Gc  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 z=Me0yo.E  
I}~+ bS  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） +iCbKh"  
lluG@1[r|  
　　[1] 9#L%1 L  
6%k%o)`  
　　两角和公式 48IN`K  
PsUedD!+  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB D|2P [N  
%G4Ayx`q  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  z_WomfIC  
vraj;UM  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB -3y7OC/  
X:29m$L  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB D [e# !  
["R j$@h  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) {|v^ {7  
dG< l  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) v#'x6i1OL  
8thY:SI2]3  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  8(j.3Q{L  
{I9(Fi  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) {n9}Yr~`  
tXW fOX  
倍角公式 <&S:b/6E}  
~, ;>/ 3/  
　　Sin2A=2SinA•CosA 8&,xAkZB  
0[;#Wfp  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 67."G8"13  
VR$, #  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Ju\ ?D8  
8:g"l#xH@  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） _Tc,8o'Ga  
%&!4  
三倍角公式 O {fnrF  
:wn<1E 5>  
　　 q|YsWTBG\  
Z@)Vqqi^]  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ~&R5gu@3[  
e:}. l~&  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) haXt,u&z-u  
fq/qRa4y  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) $/jml7}  
BmY|i]>1  
三倍角公式推导 %I,?$x  
99slk#e3  
　　sin3a Z^!UAOJ   
T$;DwV  
　　=sin(2a+a) ^KEUH,*  
O[ 'xFk  
　　=sin2acosa+cos2asina G8]vk$  
u-MnNwLaHc  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 6VQV"AjN  
3e{( b0  
　　=3sina-4sin³a 670"/*`y  
*eki!  q^  
　　cos3a MEZ?{*=J  
8oGnOjuM#  
　　=cos(2a+a) V@>vK`S'l*  
FFP67|p  
　　=cos2acosa-sin2asina P00by!auL  
?'7 vA6  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa m|E K  
o+k{ RA  
　　=4cos³a-3cosa L@A"R\r/  
JcGFRE{ 1  
　　sin3a=3sina-4sin³a 9ub;U  
\%c$ =#VTs  
　　=4sina(3/4-sin²a) ;*<q/u)  
cu+==e/  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] RLY@ b  
0mUq5wk:  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) vcFD A[  
=ZQ:)Fr"  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) $Zn7u1/4  
IOg %)h  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] "92Fqvlh4  
w^}Y(i;  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) NUPKu   
PI B (|/  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 1$L,<LIQy  
oW$_'yT.  
　　=4cosa(cos²a-3/4) R1)_fe2J  
, Pl^Or  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] lLAy~i  
4 #nO?  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ==4'+2G  
HohU k8A  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ` ]Qp-  
j$bQG  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 6~S O,B9a  
] XL~g: T  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ][;Lnz5X  
^bpfIjeo  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] zgW]CZ  
G_wp7y&L  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] '>e<G  
MiIXmH;=U  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) bM%.moO u  
yzaO"#ecaO  
　　上述两式相比可得 y$KChP[[2  
+}=o;k1  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Z3Si~;@0X  
OZ3($$N   
半角公式 @6^D9f  
jh-'mj/-  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); #8sg D|  
.o~>Qg  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ru#U8>=  
XmX.P*'  
和差化积 \!TtijuN  
h5kHdz+Z  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Qy~D!TMj  
AHPC4!M  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {H+&EbD3  
bd#M&[;}7  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Ib\;+29s  
a uoVrx  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $sj'*!K8."  
%4RBfo@j  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) (~_[tt  
4 -3"/BNm3  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) fV*_R!  
LgK[ B@?r  
积化和差 i -@.X>  
f.52K>nm  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] R9|T+FkG,  
>a=RK3ETl:  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] fh&Bu1jJ  
N;3w?^8  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] -:b1%k^X$  
=ArsF[I  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] \S6 {nYyx  
Jv5T ~  
诱导公式 }XedS)<*  
Pfbs/z>w  
　　sin(-α) = -sinα ,\YB,lU  
 aYo)A~  
　　cos(-α) = cosα %pDg.me0  
d]C:dkR  
　　sin(π/2-α) = cosα L D^&+3  
]^A<]zHs  
　　cos(π/2-α) = sinα h=rY)ha  
w6pJ;?/  
　　sin(π/2+α) = cosα hZ)wL${U  
2 %R-b=  
　　cos(π/2+α) = -sinα 0p,0J=N%K  
*ur5E#  
　　sin(π-α) = sinα ]a2uB2%p  
&C})(7J`  
　　cos(π-α) = -cosα .8CgnRj  
{(-=TK  
　　sin(π+α) = -sinα URuJ^43M  
5)hZ6d|~%  
　　cos(π+α) = -cosα bwuByeMH  
S]l/6  
　　tanA= sinA/cosA Ey;%R3n^1  
BYI d1i  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα XKY8mSqQ~A  
q N'~E  
　　tan（π/2－α）＝cotα X6?t Qe  
&/|q|S=  
　　tan（π－α）＝－tanα on6qv6Ks  
3^Cp,`  
　　tan（π＋α）＝tanα #/JAk[N  
~@6L?b)\Vh  
万能公式 >.l4wR>m  
]&)@<`]C@L  
　　 _ewj/K^  
;}"f0@`r  
其它公式 b;<^nd  
vLPBZ&sO  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 (* pT$Lm  
16|:}zH^  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 DDw^Dd.,y  
"I 5%/  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 & :gBx7  
xSuO\vPI7'  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 JRMbK*JH}  
>H(/wIOr<!  
　　对于任意非直角三角形,总有 Y}EZyYTNN  
Gij+4j  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC [WLSU?H$a  
& 1+A/J_!  
　　证: 9-:De_  
{4A(]J>j  
　　A+B=π-C ]DB7H^f'  
l{T|AK$  
　　tan(A+B)=tan(π-C) L|D8hl#8.  
B.[Pe-/V  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) s H%T  
@BFRU  
　　整理可得 6L(4cc  
K,GT;  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC F7\. TE)1#  
{lUZ9f5fi  
　　得证 |VZ Ci  
AV }= \  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 aEB[0x$  
3W%c<Z  
其他非重点三角函数 k YWKx  
!pY 466  
　　csc(a) = 1/sin(a) ,x)A4?d  
FEs\[}u  
　　sec(a) = 1/cos(a) nbg)KMM+  
zZtc,ng3:-  
　　 sN(`5%+s  
hs)o.  
双曲函数 9,nY/7  
Gg-o5"  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 FCXC<UZsK  
m|8 @ o  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ) 'a/<  
3baS V04  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) OZS6U&!H/_  
x-dWU~  
　　公式一： l+ ex6Mo  
|=8#w<`"J  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： !3~ Jx)  
|xV~ S\{g  
　　sin（2kπ＋α）= sinα X~Kc 4 :  
l' N/0{M  
　　cos（2kπ＋α）= cosα r]0,N;  
8)JCC:_  
　　tan（kπ＋α）= tanα 9")(`e"!  
G|%   
　　cot（kπ＋α）= cotα 1-(7   
[~:pdl[yWl  
　　公式二： Bz:`a%r#  
>xCtny_jg  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： & \E>e:T  
ob9XZY$ue  
　　sin（π＋α）= -sinα Xu<|OaLi  
O$\(Uv_  
　　cos（π＋α）= -cosα Se_wZG*  
PsXC'8x%  
　　tan（π＋α）= tanα ]v[s7Ta%1  
X7*L&*3x/  
　　cot（π＋α）= cotα Y)^ ,!_U  
HC_:AMtY  
　　公式三： duMp~,Q  
1*W}S=0_ >  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： w1pn% B  
7BO#\}.  
　　sin（-α）= -sinα E-"4f1  
AH}Gi9Iy  
　　cos（-α）= cosα WjW@-Dr&  
+EY'K4i  
　　tan（-α）= -tanα 'p8n]|l=}n  
C[~>cL!r H  
　　cot（-α）= -cotα !7abWB  
iv&qvAf@  
　　公式四： ??RLja\ $  
5`Q[.$s  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： #+a0^DbMU  
7$U7WH[M  
　　sin（π-α）= sinα TnH{K"b,vP  
G9*Ky?A'$  
　　cos（π-α）= -cosα !!dMoK  
GY B-Ae  
　　tan（π-α）= -tanα 5K{YYIq  
.<\fhy  
　　cot（π-α）= -cotα b,n"0)kO  
4 zKC_{F  
　　公式五： 3Qzi32+9  
&MJx3>H=!  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： {01q_UMT%  
_Qb,20A`  
　　sin（2π-α）= -sinα m Y3 * _L  
0jD}e?GS  
　　cos（2π-α）= cosα  JEzyJv  
([U/c6uZ  
　　tan（2π-α）= -tanα K+7ki c  
?7#/3Hg37k  
　　cot（2π-α）= -cotα Ku[~"O}W  
oU? j^  
　　公式六： Wqz"WOs4  
u-pi}]:ya<  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： H?lp}P  
9G:N xDJ>"  
　　sin（π/2+α）= cosα i_DVAy#/  
iJeg%9B  
　　cos（π/2+α）= -sinα t1]-D7  
]G&(czVo  
　　tan（π/2+α）= -cotα `oXh !Y  
uoCTUZON  
　　cot（π/2+α）= -tanα 0O%<~f9  
-PLCnP/S6  
　　sin（π/2-α）= cosα 4iLFLy[2b  
G R.pl  
　　cos（π/2-α）= sinα KB|9\xZ9  
AfdG^da  
　　tan（π/2-α）= cotα g1ea]m~i  
2]c y)GEk  
　　cot（π/2-α）= tanα Px_y,1<H  
?(g^&KKrM  
　　sin（3π/2+α）= -cosα WMnMEvt  
75pfYuC}+  
　　cos（3π/2+α）= sinα ]Iqj[6w]N  
20J*B  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 1^:Q%0  
S0|<.'_aq  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Q9Y] Zr  
gujrc   
　　sin（3π/2-α）= -cosα hz @:lf  
YsII1oXT>  
　　cos（3π/2-α）= -sinα -DXPVTGyj  
VS|u)!4\  
　　tan（3π/2-α）= cotα m+{X6R\  
w/WpMtGgz  
　　cot（3π/2-α）= tanα r'?7H(  
$jA6j;LK^  
　　(以上k∈Z) Vv6pL   
RVD*!tw--  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 9}f>jJm!S  
"`|;eTQp!  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = *>n^g _^  
$A5O<|1p  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Fp/3?S%O  
~czm  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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