三角函数内容规律 {dan$-o./
2)~MWS;R
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. LPKY[?V_/
lE3v1X/|
1、三角函数本质: Dm;F}zb
nfs<O:;F
三角函数的本质来源于定义 Daf3 dg<^y
5i&E3P\\
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 4~?a)30I>U
{9^kRjnO
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 s%0]Grh8
rRb>^|Hb
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: tyc!U1z}[z
Ud!~ {(
推导: )YT*86*
pKwE"1&*
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 TSZ'EYX
9lAn3Y>Q
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) rjzE
`\
5Q"}oc
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 3nQ=N~|3
W~uCA~
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 77J!Uuv
&%}e#J?8#
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) ,@)qH|zg<
o#>3Nd=
[1] -GSyFIAF~
^(z@>C
两角和公式 N%>z"5V%
g&FGmS;p
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Oc`^,
/ AWMd*t
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB >XLNU`O[
Ez#NFe/2}s
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB @fxPB}`
` <7%P0
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB C^c{n
K5
/k{zPtDF
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) fUcuJYJ
ERQm\)@
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cO6
2Ik-j
>L^b Nl'y@
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) S*E4w+
H-x1*UA:
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) tw$z)*.NH
(%,hm
倍角公式 W1;p% +>
.y>, ]LX=
Sin2A=2SinA•CosA o]Sy NC)
5`S
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 # ;aN_?w+H
<y{^2$
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) Ss5vPK}
F!*~'i^
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) q6uG-Cb
wq>3.%}*
三倍角公式 C9XDJ0Y3Z
0Ye!@ p}
^N}E;2sB#
YD1m?F@
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) "W2g+XD!Yc
YSn$9o
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) SF}U7vk
*eeu|z)
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) G9*W0d1@
Lbu%xe\
I
三倍角公式推导 J N,]d
2Q
Z(Lj\7
sin3a I5%m|z|g
]Zx*?l<h
=sin(2a+a) Z
Tges
qeU<n>&PZR
=sin2acosa+cos2asina PUJ`EC
wo =r64S_
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina y]eAo{
<DgBfRL
=3sina-4sin³a z.Sm'Q?@(
EG]jWalJy
cos3a 6
)qptj
pJ]@I\i
=cos(2a+a) UX94(j
TZp($6N
=cos2acosa-sin2asina /L_["7
!uR1*zK
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa z0=SoF
$4RL kTc
=4cos³a-3cosa JXof#LD!
'F(A>##b
sin3a=3sina-4sin³a 'DdoI_%q
\9c`\;b6
=4sina(3/4-sin²a) MGX ,W@"
c]0O+GJE
=4sina[(√3/2)²-sin²a] M]"=x
3hW^AG
=4sina(sin²60°-sin²a) 2,cLwqq
Hp$pzZ&y
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 3o+!$CcN
~ycLr(k
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] #Of\i`
i>h~%khUu
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) [Wa!EX(4
(Z`,faff
cos3a=4cos³a-3cosa MUNCMkQ7d
gnO:K
=4cosa(cos²a-3/4) 'UCw\2 l
t/c))&
`
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] kk
KmsKU
<1kbY$y
=4cosa(cos²a-cos²30°) gr0'd[yf{
2UXFol
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Ip>KTN.
Q sjNXTpCB
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} }|^(^
F
;I% =1
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) BQ1JwD.
2ICVNq6N
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] cZC&w3
^9] cz"`
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] mV%&M2d|T
Eq{w)nQ
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) %EU=&;40d
{Xj@~k1d0
上述两式相比可得 .G~ST@9
1|((TEm@<F
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) UCbnK
lA}K4Q&k
半角公式 s'<pZH nif
f
u[ ;G=
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); \#<V5qL_;U
G'Sk*wnW
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. >JA!m|:Y
zm]S7E5v
和差化积 ;Bd*7 T
X;1y
'}t
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] SqdfM
wD495'9
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 'YDTv
.sP x[Q
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ~ V2S?
Tm]x:$
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Q=Urs1? z
\R$ioLtO
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) #
{u:=M&
)z/9|P[K"
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ?s3U!R<3/T
{XZy Iw\w
积化和差 @
RBh,@,iS
c@nLc T2a
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] L9"C|Y
Y;@,~(rT
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] O%f)\/
$V}P&2
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] K4C2clDls
kR[)\|>$v
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] wGxhV
WLiU}
诱导公式 @vxJVAy
?/s<>|w
sin(-α) = -sinα p
YwLd?B?
Z*#l$N6
cos(-α) = cosα t4}5#fQU>
RF-)VL46G
sin(π/2-α) = cosα lS#`c/ti
^
v{-=T
cos(π/2-α) = sinα ~$S$l<r
ob/X&\kT
sin(π/2+α) = cosα z_pO6#Sa7
ef(U-eD#\
cos(π/2+α) = -sinα Qp7#a8uXt
(R&Wl/+xWZ
sin(π-α) = sinα
|?Lp0r3
@TmT]]VN4s
cos(π-α) = -cosα %;#jNu7
Op yUz#
sin(π+α) = -sinα
! QFx@V
2(_wwN
cos(π+α) = -cosα )s)EIF9A
SwG`W
tanA= sinA/cosA :m oTJ>
bs+./H S
tan(π/2+α)=-cotα W-4?
4w9CE(S3
tan(π/2-α)=cotα Mh1OA"YN]
Qt061Pn
tan(π-α)=-tanα tltC`]~
UuB]Fv%
tan(π+α)=tanα Cvjn?8)Ea
oP6-Hja
万能公式 ACwGxZ|/
6GsKQ)ol`
M3qr:ExY
P+J
_Biy
其它公式
N2Hlj2
/U.PlKHJ
(sinα)^2+(cosα)^2=1 &~|Q<J@m,
%l^d]w
1+(tanα)^2=(secα)^2 B"Aoj_m5
6Wn&o7kE
1+(cotα)^2=(cscα)^2 Xp{C<sbym
j@)$~A
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 7DeJ(=%><
FGpZ<qI
对于任意非直角三角形,总有 }BPD{h;!s
<-[&f-m
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC \UZYj
S|s/gp
证: zd, nDh8
l
s;V)2p
A+B=π-C wkEX]2RS
0$
f_oV\B
tan(A+B)=tan(π-C) ]8\,iB2X
LrT_UVM
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ~ZPHo-
5(kIA=E \
整理可得 ,1ut#q
[$1
@Za
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC '2?Gk+ 4
&$w`'|zKw
得证 -{#'a>
uI3fd]
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Yp5J7.i I
58"xkWPB
其他非重点三角函数 1T6OgBf
BDk`Ys^E)=
csc(a) = 1/sin(a) R{} %B[tz
{v^[X
sec(a) = 1/cos(a) v*DXcg<K
.
>8j:xJ
JP]9DtD
cJs"4[y
双曲函数 44rE,Fzn
uqQ2>e#h
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 *wtsU0KO
[Ls=CBa?
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ^1ZXB2Bz$
\;_$Ug5$
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) )kD| el
Vac8%F7\
公式一: `A<KhJA,Fp
A~Fac*A_
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
CLROL6k
]nQ ~D
sin(2kπ+α)= sinα c|#(#2!w
e0WjP3b
cos(2kπ+α)= cosα @{VZ6u52
c`9* k
3>
tan(kπ+α)= tanα T&uG@'8L
"m pf/2n
cot(kπ+α)= cotα % ZO?=Rvi
n CBu"dN
公式二: y$?[
0
CFM*()
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: A[}W.Gx+
j=|^vnAqz
sin(π+α)= -sinα Dpmpi6
L1C~Dl<lm
cos(π+α)= -cosα OC]X`%GC;
E>~9W N
tan(π+α)= tanα _$UYd"b
(i
p^30V?0[
cot(π+α)= cotα ZLrC`1#
MW U#q1jy
公式三: 4ch1)
>
C27`b/
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: `^~@~^,{.
PtTQ@.&D^
sin(-α)= -sinα
V 6J_[E
zJlqB;:4h
cos(-α)= cosα 5m9
3N|^/(x8
tan(-α)= -tanα ]
dL>zZ
P,z
gV>:{
cot(-α)= -cotα ?qY
($$C
>zc L\1q
公式四: i',
>XS=oH84
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: 3M@7e4'f
E@,BgSzT8
sin(π-α)= sinα :e30OW-d
%N;aO;r
cos(π-α)= -cosα OPm~Gz
c-L>-vZ |
tan(π-α)= -tanα @+C7Rj6^4
bIG%1l4eb
cot(π-α)= -cotα \Db2b
4
h=:(
b4
公式五: (pV1?=*
UL%`{?X
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: rM
n /YB%
b}>!0+P\j
sin(2π-α)= -sinα $_r
H)
P4jnHfCu
cos(2π-α)= cosα pTY|@P)f
Cbj=>V
tan(2π-α)= -tanα -1DnAgV
sHQc]DO
cot(2π-α)= -cotα T[QT.T84U
U,zH`A
公式六: ]nbbT:X
d{=!^&k9O
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: `K]Auf[&
x
SN e~GL
sin(π/2+α)= cosα -Y( G>@
& Hv<TbVmT
cos(π/2+α)= -sinα ^y6Y/h)F|
0'`@,
$
tan(π/2+α)= -cotα 0KUKGCJ
?|f~eZA
cot(π/2+α)= -tanα .jr4MB\g
pQb.ANtC^o
sin(π/2-α)= cosα ANy6{REjV
~A!P]~|
cos(π/2-α)= sinα 5\@sSb<
R-ih`L>?J
tan(π/2-α)= cotα
5d
:vf
ogQ+z9
cot(π/2-α)= tanα |'\7HT2Y@
WX9)
sin(3π/2+α)= -cosα b6;&L~s\
>^hyZDSS
cos(3π/2+α)= sinα Xdh;%VS
ESsYEX
tan(3π/2+α)= -cotα ,i[yWVS
g7IS5H
cot(3π/2+α)= -tanα $y)$9u)G
Tl`$GLRd
sin(3π/2-α)= -cosα u`A "?b#
,S[W;}`~p
cos(3π/2-α)= -sinα !@L"+22"\
XeJ<d{AXo`
tan(3π/2-α)= cotα A to.ZYG
$SG,:2
cot(3π/2-α)= tanα ur*z05
oALh&X^
(以上k∈Z)
K&MjF7
WO>q hV'
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 1~oO04U
gw6%<PI
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 6W[N0=$Uge
@*e1bI
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } QA(?kRy
K2ZcO/&:
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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