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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 {dan$-o./  
2)~MWS;R  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. LPKY[?V_/  
lE3v1X/|  
  1、三角函数本质: Dm;F}zb  
nfs<O:;F  
  三角函数的本质来源于定义 Daf3dg<^y  
5i&E3P\\  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 4~?a)30I>U  
{9^kRjnO  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 s%0]Grh8  
rRb>^|Hb  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: tyc!U1z}[z  
Ud! ~ {(  
  推导: )YT*86*  
pKwE"1&*  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 TSZ'EYX  
9lAn3Y>Q  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) rjzE `\  
5Q"}oc  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 3nQ=N~|3  
W~uCA~  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 77J!Uuv  
&%}e#J?8#  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) ,@)qH|zg<  
o #>3Nd=  
  [1] -G SyFIAF~  
^(z@>C  
  两角和公式 N%>z"5V%  
g&FGmS;p  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Oc`^,  
/AWMd*t  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  >XLNU`O[  
Ez#NFe/2}s  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB @fxPB}`  
`< 7%P0  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB C^c{n K5  
/k{zPtDF  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) fUcuJYJ  
ERQm\)@  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cO6 2Ik-j  
>L^b Nl'y@  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  S*E4w+  
H-x1*UA:  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) tw$z)*.NH  
(%,hm  
倍角公式 W1;p% +>  
.y>, ]LX=  
  Sin2A=2SinA•CosA o]Sy NC)  
5` S  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 # ;aN_?w+H  
<y{^2$  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) Ss5vPK}  
F!*~' i^  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) q6uG-Cb  
wq>3.%}*  
三倍角公式 C9XDJ0Y3Z  
0Ye!@ p}  
   ^N}E;2sB#  
YD1m?F@  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) "W2g+XD!Yc  
YSn$9o  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) SF}U7vk  
*eeu|z)  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) G9*W0d1@  
Lbu%xe\ I  
三倍角公式推导 J N,]d 2Q  
Z(Lj\7  
  sin3a I5%m|z|g  
]Zx*?l<h  
  =sin(2a+a) Z Tges  
qeU<n>&PZR  
  =sin2acosa+cos2asina PUJ`EC  
wo =r64S_  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina y]eAo{  
<DgBfRL  
  =3sina-4sin³a z.Sm'Q?@(  
EG]jWalJy  
  cos3a 6 )qptj  
pJ]@I\i  
  =cos(2a+a) UX94(j  
TZp($6N  
  =cos2acosa-sin2asina /L_["7  
!uR1*zK  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa z0=SoF  
$4RLkTc  
  =4cos³a-3cosa JXof#LD!  
' F (A>##b  
  sin3a=3sina-4sin³a 'DdoI _%q  
\9c`\;b6  
  =4sina(3/4-sin²a) MGX ,W@"  
c]0O+GJE  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] M]" =x  
3hW^ AG  
  =4sina(sin²60°-sin²a) 2,cLwqq  
Hp$pzZ&y  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 3o+!$CcN  
~ycLr(k  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] #Of\i`  
i>h~%khUu  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) [Wa!EX(4  
(Z`,faff  
  cos3a=4cos³a-3cosa MUNCMkQ7d  
gnO:K  
  =4cosa(cos²a-3/4) 'UCw\2 l  
t/c))& `  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] kk KmsKU  
<1kbY$y  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) gr0'd[yf{  
2UXFol  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Ip>KTN.  
Q sjNXTpCB  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} }|^(^ F  
;I% =1  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) BQ1JwD.  
2ICVNq6N  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] cZC&w3  
^9] cz" `  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] mV%&M2d|T  
Eq{w)nQ  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) %EU =&;40d  
{Xj@~k1d0  
  上述两式相比可得 .G~ST@9  
1|((TEm@<F  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) UCbnK  
lA}K4 Q&k  
半角公式 s'<pZHnif  
f u[;G=  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); \#<V5qL_;U  
G'Sk *wnW  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. >JA!m|:Y  
zm]S7E5v  
和差化积 ;Bd*7 T  
X;1y ' }t  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] SqdfM  
wD495'9  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 'YDTv  
.sP x[Q  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ~ V2S?  
Tm]x:$  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Q=Urs1? z  
\R$ioLtO  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) # {u:=M&  
)z/9|P[K"  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ?s3U!R<3/T  
{XZy Iw\w  
积化和差 @ RBh,@,iS  
c@nLc T2a  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] L9"C| Y  
Y;@,~(rT  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] O%f)\/  
 $V}P&2  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] K4 C2clDls  
kR[)\|>$v  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] wGxhV  
WLiU}  
诱导公式 @vxJVAy  
?/s<>|w  
  sin(-α) = -sinα p YwLd?B?  
Z*#l$N6  
  cos(-α) = cosα t4}5#fQU>  
RF-)VL46G  
  sin(π/2-α) = cosα lS#`c/ti  
^ v{-=T  
  cos(π/2-α) = sinα ~$S$l<r  
ob/X&\kT  
  sin(π/2+α) = cosα z_pO6#Sa7  
ef(U-eD#\  
  cos(π/2+α) = -sinα Qp7#a8uXt  
(R&Wl/+xWZ  
  sin(π-α) = sinα  |?Lp0r3  
@TmT]]VN4s  
  cos(π-α) = -cosα %;#jNu7  
Op yUz#  
  sin(π+α) = -sinα  ! QFx@V  
2(_ wwN  
  cos(π+α) = -cosα )s)EIF9A  
 SwG`W  
  tanA= sinA/cosA :m oTJ>  
bs+./HS  
  tan(π/2+α)=-cotα W-4?  
4w9CE(S3  
  tan(π/2-α)=cotα Mh1OA"YN]  
Qt061Pn  
  tan(π-α)=-tanα tltC`]~  
UuB]Fv%  
  tan(π+α)=tanα Cvjn?8)Ea  
oP 6-Hja  
万能公式 ACwGxZ|/  
6GsKQ)ol`  
   M3qr: ExY  
P+J _Biy  
其它公式 N2Hlj2  
/U.PlKH J  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 &~|Q<J@m,  
%l^d]w  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 B"Aoj_m5  
6Wn&o7kE  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 Xp{C<sbym  
j@) $~A  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 7DeJ(=%><  
FGpZ<q I  
  对于任意非直角三角形,总有 }BPD{h;!s  
<-[&f-m  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC \UZYj  
S|s/gp  
  证: zd,nDh8  
l s;V)2p  
  A+B=π-C wkEX]2RS  
0$ f_oV\B  
  tan(A+B)=tan(π-C) ]8\, iB2X  
LrT_UVM  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ~ZPHo-  
5(kIA=E\  
  整理可得 ,1ut#q  
[$1 @Za  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC '2?Gk+ 4  
&$w`'|zKw  
  得证 -{#'a>  
uI3fd]  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Yp5J7.i I  
58"xkWPB  
其他非重点三角函数 1T6OgBf  
BDk`Ys^E)=  
  csc(a) = 1/sin(a) R{} %B[tz  
{ v^ [X  
  sec(a) = 1/cos(a) v*DXcg<K  
. >8j:xJ  
   JP]9DtD  
cJs"4[y  
双曲函数 44rE,Fzn  
uqQ2>e#h  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 *wtsU0KO  
[Ls=C Ba?  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ^1ZXB2Bz$  
\;_$Ug5$  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) )kD| el  
Vac8%F7\  
  公式一: `A<KhJA,Fp  
A~Fac*A_  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: CLROL6k  
]nQ ~D  
  sin(2kπ+α)= sinα c|#(#2!w  
e0WjP3b  
  cos(2kπ+α)= cosα @{VZ6u52  
c`9* k 3>  
  tan(kπ+α)= tanα T&uG@'8L  
"mpf/2n  
  cot(kπ+α)= cotα % ZO?=Rvi  
n CBu"dN  
  公式二: y$?[ 0  
CFM*()  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: A[}W. Gx+  
j=|^vnAqz  
  sin(π+α)= -sinα Dpmpi6  
L1C~Dl<lm  
  cos(π+α)= -cosα OC]X`%GC;  
E>~9WN  
  tan(π+α)= tanα _$UYd"b (i  
p^30V?0[  
  cot(π+α)= cotα ZLrC`1#  
MW U#q1jy  
  公式三: 4ch1)  
> C27`b/  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: `^~@~^,{.  
PtTQ@.&D^  
  sin(-α)= -sinα V 6J_[E  
zJlqB;:4h  
  cos(-α)= cosα 5  m9  
3N|^/(x8  
  tan(-α)= -tanα ] dL>zZ  
P,z gV>:{  
  cot(-α)= -cotα ?qY ($$C  
>zc L\1q  
  公式四: i',  
>XS=oH84  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: 3M@7e4'f  
E@,BgSzT8  
  sin(π-α)= sinα :e30OW-d  
%N;aO;r  
  cos(π-α)= -cosα O Pm~Gz  
c-L>-vZ|  
  tan(π-α)= -tanα @+ C7Rj6^4  
bIG%1l4eb  
  cot(π-α)= -cotα \D b2b 4  
h=:( b4  
  公式五: (pV1?=*  
UL%`{?X  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: rM n/YB%  
b}>!0+P \j  
  sin(2π-α)= -sinα $_r H)  
P4jnHfCu  
  cos(2π-α)= cosα pTY|@P)f  
Cbj=>V  
  tan(2π-α)= -tanα -1DnAgV  
sHQc]DO  
  cot(2π-α)= -cotα T[QT.T84U  
U,zH`A  
  公式六: ]nbbT:X  
d{=!^&k9O  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: `K]Auf[&  
x SN e~GL  
  sin(π/2+α)= cosα -Y( G>@  
& Hv<TbVmT  
  cos(π/2+α)= -sinα ^y6Y/h)F|  
0'`@, $  
  tan(π/2+α)= -cotα 0KUKGCJ  
?|f~eZA  
  cot(π/2+α)= -tanα .jr4MB\g  
pQb.ANtC^o  
  sin(π/2-α)= cosα ANy6{REjV  
~A!P]~|  
  cos(π/2-α)= sinα 5\@sSb<  
R-ih`L>?J  
  tan(π/2-α)= cotα 5d :vf  
ogQ+z9  
  cot(π/2-α)= tanα |'\7HT2Y@  
WX9 )  
  sin(3π/2+α)= -cosα b6;&L~ s\  
>^hyZDSS  
  cos(3π/2+α)= sinα Xdh;%VS  
ESsY EX  
  tan(3π/2+α)= -cotα ,i[yWVS  
g7IS 5H  
  cot(3π/2+α)= -tanα $y)$9u)G  
Tl`$GLRd  
  sin(3π/2-α)= -cosα u` A "?b#  
,S[W;}`~p  
  cos(3π/2-α)= -sinα !@L"+22"\  
XeJ<d{AXo`  
  tan(3π/2-α)= cotα A to.ZYG  
$SG,:2  
  cot(3π/2-α)= tanα ur*z05  
oALh&X^  
  (以上k∈Z) K&MjF7  
WO >q hV'  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 1~oO04U  
gw6%<PI  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 6W[N0=$Uge  
@*e1 bI  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } QA(?kRy  
K2ZcO/&:  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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