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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 O 9?nlrr I  
u{';H^'  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. cR`d8)  
P7.aZ&R)-  
　　1、三角函数本质： bN.oZ^u MY  
>#Z/0 P  
　　三角函数的本质来源于定义 ia?gi_],S  
^F8T-L!#9n  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 GE;7-`g)X  
m[C ` }gPG  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 G !@&`Wyh  
4@l|v=Bv  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： .d_FKsA[c  
q{AaDY/7l  
　　推导： |@BtXKC=Jk  
rx/bMDW  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 a^{o:r=  
xQ6M&o?Q z  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 20OiV.*  
yHB|V.  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) r}{ [Q=C$  
 &S#_uRD  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Z<UG :)Y#  
qXK?H O  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） X3p~4NMf  
Na[yy.V">|  
　　[1] J/%R/ K 3l  
S#2Vufg   
　　两角和公式 " ;N{m  
xr/) P'9d  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB wtLVxN|~  
sFYS9yY  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  $1bGv)_  
Qnq?vm1p  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB X.F59  
/0j F 9  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ?p"[f _bH  
j6F04N  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) }uN*jbN  
H)G^Lr<  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) u0bF^x7  
[}#gE(,g7A  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  uGT7QD  
X ~i+nr+Y  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ALiuSrE6U  
)P L# *?0  
倍角公式 J@Le.nm_  
A@h]:5V3  
　　Sin2A=2SinA•CosA XJX%g)H  
Er hH=vA5  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Z"k1#T  
=p``;,  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） tLGu'xfY  
'HcmtE*  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）  i2G R  
;CeB$I ~  
三倍角公式 )9 Z"PL5  
xNcYNCVT\  
　　 ^^D6U7WG  
p|$! 10i   
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) qYoocWx`  
&^p"4Q&%  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) eaV;)v-i  
bx)%y>eQ  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) m0xAL2"  
hmZjf|   
三倍角公式推导 zeBA-l0  
f du!m_8  
　　sin3a IW7(EY\7  
Vw %r|Zv  
　　=sin(2a+a) [VYoxs_  
.44mWd'@  
　　=sin2acosa+cos2asina ridycdfDf  
>9MLx5  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina w9 fmAH &  
uX,oU4t~K  
　　=3sina-4sin³a [a*SYbi  
_{wac''  
　　cos3a Qq$&~T.3]  
93HtW}P Vf  
　　=cos(2a+a) F7h$ axP  
kTCRaPSx  
　　=cos2acosa-sin2asina ,1q7!z'1a  
A=3{a?H  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa hqp_ .  
(kkE@7a  
　　=4cos³a-3cosa h3V|>3 o  
{UH|o  7  
　　sin3a=3sina-4sin³a R, h7R  
Q)($HAW+  
　　=4sina(3/4-sin²a) =ei{b)  
)&`WA]E +  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] bY'bR{1  
>\ Hp!F  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) _e>Tx-@  
sB. =  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) k}tTqL0|  
?`8trt  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ?)W@5 }!Q  
Lh&;iFD+  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) o9PV/@  
0fv@InBx}  
　　cos3a=4cos³a-3cosa !B_: Nv  
46d<O>  
　　=4cosa(cos²a-3/4) u$ ]=T  
fAfHjt0i\  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ZAzpY*y  
wGC)6t_Q7  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 'h\;7}Z  
r/ahmvaM\  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) )#AKF|UW+  
;U'\*M;q  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Z61e|m  
(^t;M%3  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)  FD uBk  
w_)I]:bK8j  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Qh"OT># +  
tPuh`&-  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] IXo-2B l  
ug8r4jQ#  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ZE{(BGrC  
w"HvZ'A"  
　　上述两式相比可得 KHn"&8p:  
CDM-&U^{>  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) eTznG5b|  
F}]@E>~#  
半角公式 ^\<;6;~j  
^9!|#}&bo  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); S,.YL HSt  
w^$#p #  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. gxq|MwBkS  
P q$^{   
和差化积 huQPWZ!:nn  
2vK:>w;  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] a2Mj1  
W4!?BE h>  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] TDo:T45  
Thl&i  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] -_coB#e  
 %d@h@O  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] dJ-A !&\  
Z>-X2:aW  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) -Y2R 9\ &>  
GeO6 |AT  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Mg eV#HD ;  
}]0plL'  
积化和差 7rpSyV(6Id  
o L49q  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] @ '|X"C  
3yJ.cU\  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] J~T ,q?m-  
f3=sPMH+Z  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] "Gk,dO]  
}1LsQ8v:  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 8Q\+Co  
[Jp &,  
诱导公式 ZX :Hw  
g#8SB;W)-{  
　　sin(-α) = -sinα T6v?sAy  
K$fq^n  
　　cos(-α) = cosα q3}dFMR;0  
2#eUzJ}:  
　　sin(π/2-α) = cosα y^y:oY.  
mD%g]" Mn8  
　　cos(π/2-α) = sinα q=5Dyg`')  
1>wJ(xg)\  
　　sin(π/2+α) = cosα kQ)b;=  
se<*{r'i  
　　cos(π/2+α) = -sinα AAD#u3}X  
Z6v|c  
　　sin(π-α) = sinα ^QF#DNB8d  
cL j,8  
　　cos(π-α) = -cosα |k1Ia<k<  
@>& FuH  
　　sin(π+α) = -sinα sJqo)_m  
LFs_.jR]:  
　　cos(π+α) = -cosα B>e) O  
02A' Te  
　　tanA= sinA/cosA {2'zzz}vv  
1xn=UOY\m  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα }`vbFN[  
&fs&* j%D'  
　　tan（π/2－α）＝cotα T\3E9>WqQ  
[SJa'7YqM  
　　tan（π－α）＝－tanα Y>Bc9  
h*J! /\Z  
　　tan（π＋α）＝tanα s qYvH_  
*/dqT[3  
万能公式 i6$7-$  
q mS:-   
　　 za7= 1pc  
', FT&6UVb  
其它公式 _AJN1S~T C  
weeCa9  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Bxi@u_TI  
N.k"fbbx%  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 32)&&  
Cwj!_  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 's miOL  
IH`;]Tr<b  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 g=HY6q0Qt  
HeF@!Jf#,  
　　对于任意非直角三角形,总有 t2ZQ$k  
K7QkVBw{  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,$_h~'  
?Z <9BVqv  
　　证: G[h6{$n/  
"%~(HqGs  
　　A+B=π-C :]:lL "4  
[q&&xy}  
　　tan(A+B)=tan(π-C) p}Dxy .U  
3WxfN@xGs  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) l4Ad*w#M@  
OSUc0d$  
　　整理可得 %Z?5p<,1  
x[mvlc^  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Sa*p .Zq(s  
enOO2?l  
　　得证 ueWv}c  
Pa !#6\M  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 " $AAA?=e;  
nM?cc$  
其他非重点三角函数 aIsRX  
R$l x>n  
　　csc(a) = 1/sin(a) ,&0FFDt  
Y5 _Ia!Xu  
　　sec(a) = 1/cos(a) o[cDd`m  
GGDE);#M=  
　　 FftM(KQ  
?0CSs-=+z  
双曲函数 Vf%:$ `-  
tm/_}XR  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 FJd]jvVx  
h{*jBVV  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ]+?VT3y  
czhr qb  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) fU&h *aXQt  
)Qp|J6l  
　　公式一： "IZc[  
*&J!Sr  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： nj{FQ}&c  
cs3Vi6N  
　　sin（2kπ＋α）= sinα wSVjJ".Ea<  
t^/nW=t  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 'aT0W  
t)?* ,6MJ  
　　tan（kπ＋α）= tanα \<k6) Os  
(r9qe^H#W  
　　cot（kπ＋α）= cotα D V6I>W  
\-31aMh #  
　　公式二： W30R| +P  
8K|!\  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： TRT%@t5c  
|. TYP-(  
　　sin（π＋α）= -sinα pkAl?s 4?  
Q,qn}M  
　　cos（π＋α）= -cosα kHl8k *e  
=vC@ZZ:zG  
　　tan（π＋α）= tanα qtWEj;"3  
\Rqh  
　　cot（π＋α）= cotα ._z4WI\  
v_ `GGHc\  
　　公式三： ?;vA=pM4 s  
%ZV(5j0M  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： +(B`WW<,  
D;-{}4~4  
　　sin（-α）= -sinα vlB%!TmFA  
'x'2eN]  
　　cos（-α）= cosα Zp:&Pl >U  
-GRM/\M  
　　tan（-α）= -tanα /4loyz@  
4`+N}  
　　cot（-α）= -cotα \ 6\>8k<9  
%:$, F  
　　公式四： (9Nn0  
&Z:/-hK~  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： mNnK P  
{[8r1jxi  
　　sin（π-α）= sinα |EA =.Wo  
V; PT F'&  
　　cos（π-α）= -cosα Fupkx7$  
n_@_(pA  
　　tan（π-α）= -tanα cOv=MU(.  
mb EU   
　　cot（π-α）= -cotα tb^7MF|>oO  
?MS$kthNrw  
　　公式五： J@\+8-=4  
JAa`n  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Z^+T6qe  
% cA'W  
　　sin（2π-α）= -sinα Ai>'B-?  
q+B674R :&  
　　cos（2π-α）= cosα eA0'QUb`q  
xi2fb0  
　　tan（2π-α）= -tanα r=\>+6  
%#`$K1v7ua  
　　cot（2π-α）= -cotα {/l>E7Jr9  
@DeLR[z#G  
　　公式六： ` N~O_  
YP| A.P  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： e jrzj[0\|  
":<8kOH  
　　sin（π/2+α）= cosα l^J!-  
x )z]39  
　　cos（π/2+α）= -sinα E3o f;J  
5-XKsB9O  
　　tan（π/2+α）= -cotα Z_xJ rv{  
e,Se f  
　　cot（π/2+α）= -tanα v@Y9KC$-6  
=zX1voE!Z'  
　　sin（π/2-α）= cosα \0*j+@:  
U GTR~z  
　　cos（π/2-α）= sinα nQ1 ,R9  
<!&Hn=;biX  
　　tan（π/2-α）= cotα 0eKD?et  
[tMy;@*  
　　cot（π/2-α）= tanα EYM=^ebB  
i=yFr;'&U6  
　　sin（3π/2+α）= -cosα #s:~z1v  
U}_~-$h9  
　　cos（3π/2+α）= sinα ^T |r9 ET  
* g>C8^Bk  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 49vt3i0$  
$ctC~j0  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ^6!kKjc  
H0 D]>h  
　　sin（3π/2-α）= -cosα v[km)  
OLV[]-++  
　　cos（3π/2-α）= -sinα (V;m\(5V5  
*S4_\rY  
　　tan（3π/2-α）= cotα p:q$  
.:y@H8  
　　cot（3π/2-α）= tanα ]Th+/2FC  
u;JwFzvq49  
　　(以上k∈Z) 00rs2)sT  
p@h>#rr4  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Cm8HT6X#  
|v^]#WvN  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ty|<pwo  
=* 91D(  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } S7ntw]hA  
y!SM^%  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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