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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 T _jMST>  
%'%GTT'/()  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.  MMO#Z  
VE+qqgM  
　　1、三角函数本质： [2Cty[;K  
KU' rV8  
　　三角函数的本质来源于定义 -(e7@"U4V=  
0g4xPpG  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 oZ*/ e  
S|s/C (  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 zouk!8qP  
 3KM2.  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ]wc;EAbB9F  
Pv$14  
　　推导： )M;`]8w  
ex`@409  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 E@ c(Q&2|  
|pE2qf[l>  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) O z!%iU*  
{j&zB.L"  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) .n3o}y3N/(  
* 5Ci'   
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ~c m~m>L  
s)t W&  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） va l$c"9-x  
N_Nc^WYP  
　　[1] 0yEQQ~Yo  
d`GX,/+7  
　　两角和公式 e+bi%6  
_R?{ mfw  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB /k&;)a On"  
STudaB-t  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  X|KR}hOm  
f}_9#j<}  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ++wH]~O?G  
,jO!`8i'  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB P<EICUp  
{]0\H4Mx  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) vG&q>G  
_EOvOM"  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ;jMd;  
uHi(1N 8P  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  I ]G(ta?  
Ge0|6ot  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) R1\T"J  
$L'Ow18  
倍角公式 :3O-6&R  
* /j}REv  
　　Sin2A=2SinA•CosA ^=Cg"''=  
_4pkOo  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 :jkuTv~|Bf  
!7B#e 6  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 3rof&in  
()#r/d  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） fHqB`2Yq  
%`p  
三倍角公式 uq]}^<Nu  
dq &$yPf  
　　 'hKG 4\=C  
X} }rsYm  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) xW 2K.  
a5bTJj  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tUT1~(WV  
In5'7jj  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) W9-(Ss Xd  
"T\:zy[[V  
三倍角公式推导 })x.3_D1  
US/010  
　　sin3a <TsNgi#  
~lfnU>S   
　　=sin(2a+a) +(L HMp%  
V b1 ~   
　　=sin2acosa+cos2asina V!xe~G1M  
3p(nEbsqE  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina w MDX 's8  
jP % N  
　　=3sina-4sin³a b \w`^_  
n j|8>=RWb  
　　cos3a ?4et9!j~=  
PN{"1t  
　　=cos(2a+a) B6j/ y-r  
]hH\7*\  
　　=cos2acosa-sin2asina A&Pe< m_  
AI^("fM  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa xf& SM]W  
e)hv Vx #  
　　=4cos³a-3cosa zO8 S1m7lf  
lU F  kX  
　　sin3a=3sina-4sin³a J|AVhnx[  
$Xbx b:h  
　　=4sina(3/4-sin²a) zop.(xaQM  
}ounOcZ"-  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ]ba]kaId2  
lzwm|)xW  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 8Y!.T$P  
dYGK% ~]m  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 04;BF "K  
<}G)S[ f  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] |GiNgFz  
$(zc~<42  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) '[vNH5G1y  
&Q Cg/P  
　　cos3a=4cos³a-3cosa )0Y{|+~d  
g`BG3 u  
　　=4cosa(cos²a-3/4) d}O7r.mf  
&DK6 rphjH  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] l0Y7I[\eD  
^DHn\V  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) yL=-Mto[  
D8O\cT|c  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) *#K K\!  
nS ?Nq\  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} +1)5#8Y6  
V=e>(FJ4  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ({)AY2%  
17,i;MyB  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] |?^=\~fT  
A2]qm;  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] (`f`%N e  
u \$&U!  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ~VH xv.d  
y{s6 ~[  
　　上述两式相比可得 bNJ( }]6  
,jo7e,`  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) PYak6v`  
fZam>bHX  
半角公式  b>Dqz  
0[@:?n4ARN  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); / &zTkVw  
=/i%]q*RQ  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Q+Y.0c  
G/>)?!;&  
和差化积 +BUW$8i  
TJI37Q7  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 2%$.S`71  
&~T*\vC^y  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] |`-wx0KU'  
,$#}X{  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 6icLHjM  
LV|KeU>:  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] yRIf?  
PTT]GK y  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) S V|h(9l  
|lQ_GW^  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 4n``'`L  
(X1M4JB  
积化和差 (rW FBmGT"  
a6,BAPq  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Ys 3^>R  
,(sP%?Qh  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] v R*H  
`C$yMj^ k  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ]^85h[e  
c=DFTe8  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] bbTW ` Q  
dWg4ENW9  
诱导公式 3"{eRvg  
T 'j2|:6<  
　　sin(-α) = -sinα g;x< 3  
HD7^:.|  
　　cos(-α) = cosα Tr^b"w  
--z=~i=F  
　　sin(π/2-α) = cosα .S:&PC@  
JP=<XXM  
　　cos(π/2-α) = sinα {K;e \fl_  
<ET{g yN  
　　sin(π/2+α) = cosα Sg o  
2COZk7#RE  
　　cos(π/2+α) = -sinα B.qhhAO  
ot-+<a Sp!  
　　sin(π-α) = sinα _eog?n  
~cs<1,  
　　cos(π-α) = -cosα Pr|lh%X'  
Y&2!o{W   
　　sin(π+α) = -sinα Qnl%=`f_  
%1E@S6,P)  
　　cos(π+α) = -cosα -( -3K~  
5gV-xKL!R2  
　　tanA= sinA/cosA }$3)4QR  
?Y Tf?K|  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα G+yApB_  
li6h'pRN  
　　tan（π/2－α）＝cotα )C\g"4dnJ  
Q \=nWX  
　　tan（π－α）＝－tanα u@yTPO  
`"s  e  
　　tan（π＋α）＝tanα JsXy9n  
@7i lZp-q  
万能公式 (2a@XR\/N  
s4 H<;|l  
　　 }VC|n<Yj  
kt^NGE:<  
其它公式 }^(Ly]OV  
vkS|NOX7  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ,;w{)Lz %  
rG+Z\02  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 w_FTUFf</  
r~ LVzb&  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 "/2Xmu){L  
I[D[ UF  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 .Sq!~$  
SKr0gK!ud  
　　对于任意非直角三角形,总有 gE |>pgC(  
7S\-6Z~izd  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC GKoYNSi  
/' [62qL  
　　证: Gon%W04I  
w&!cLpS  
　　A+B=π-C YWQqY9(>q  
]<qg& u ~  
　　tan(A+B)=tan(π-C) fF'Q.A 6  
X E7k":  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) u}ESVQBdf  
+)zJ_ M7D  
　　整理可得 LTziPpj*  
6k;Z$nQ +  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC i}?fKu]  
BoP2; $Cao  
　　得证 (M%9P`<t  
Rl:lgUFb=  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 `Ovoj]1  
SB]K38J  
其他非重点三角函数 N^VC?RC  
dUR(0Z  
　　csc(a) = 1/sin(a) X4h 3mv%([  
lQF9'd{\a  
　　sec(a) = 1/cos(a) DD-,GL  
%(Q x6`  
　　 \ lBCupx  
&tgI]q  
双曲函数 WQ1 ;Mj  
/m2,8g2  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 kM7o$Eps  
AHV+r. yq  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 [>rGu  
?%*!I] `  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) N{.XMm  
#9wdJ_uq  
　　公式一： ,kG.@rE &  
AuaRLxk  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 6voR&OZ  
!KI7>5S  
　　sin（2kπ＋α）= sinα $ME'^Fd  
WF*R88 *  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Q>&9EkV4)  
~t{mNFn,  
　　tan（kπ＋α）= tanα m!Z%a\p}[+  
jqzL"r=  
　　cot（kπ＋α）= cotα T]6_%xm~  
d ~DWY"  
　　公式二： S ET|G[n  
? rP /r:  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 40Bn*Vjr{(  
Db](SZ|  
　　sin（π＋α）= -sinα {N[,y4Hu  
[i8<6 ]?  
　　cos（π＋α）= -cosα @ucT X3k  
2A6XXUFV  
　　tan（π＋α）= tanα GGV/Jl7Y O  
4`2lk  
　　cot（π＋α）= cotα l DgFiqb  
=JT.&Yu@B'  
　　公式三： E j%VM?  
p EKP4& \X  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： CvIJ$m+>  
r9< K\-  
　　sin（-α）= -sinα 8<^p#'nz  
^,i? BD  
　　cos（-α）= cosα VpcFQ  
[{z\s'3  
　　tan（-α）= -tanα I]k^ arx  
.q|dC~KP<  
　　cot（-α）= -cotα Yb!t:}igw  
o_\Lrs  
　　公式四： !TKN4jXtqW  
_n'"6[2  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Tzh>/J[  
5k]eSdO7a  
　　sin（π-α）= sinα $P{8N hT  
mkO%sQK  
　　cos（π-α）= -cosα g0~KLan9F  
Y]X!w%C  
　　tan（π-α）= -tanα @]6`?7J  
T[Eo#Jf  
　　cot（π-α）= -cotα iqG0 kJ  
k`)@Y[+R  
　　公式五： cf\tIr@O  
/s?/zcz9  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： A`N2$J?1 p  
@_/=uPI  
　　sin（2π-α）= -sinα sP "$sp{  
dRjYS>' <  
　　cos（2π-α）= cosα B pOMmQz  
+hCfW\f-  
　　tan（2π-α）= -tanα u_Mx7 kNs  
?B[C':Z60T  
　　cot（2π-α）= -cotα ld^GL}  
IX-E H"Q  
　　公式六： K b0:s0[l  
A4.vN8  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： X=h<r\2i1  
3,VlTrT  
　　sin（π/2+α）= cosα eKlqo;BcQ  
5m}a-G[b&  
　　cos（π/2+α）= -sinα W*5H}qRoI  
y;^[+=kN  
　　tan（π/2+α）= -cotα *Y3+u/#  
,*wv xg:[  
　　cot（π/2+α）= -tanα ?O zk)6-  
Jls,[E k"  
　　sin（π/2-α）= cosα -$e#~s}  
_ G b8TX  
　　cos（π/2-α）= sinα t dDjr{4  
x=M k9M1  
　　tan（π/2-α）= cotα Q.)`@:o  
NfT8 >t&=  
　　cot（π/2-α）= tanα }\u"Y pMb  
0A};h "h7  
　　sin（3π/2+α）= -cosα qCw13  
8@]!]p0+~  
　　cos（3π/2+α）= sinα ?h6dqC'%  
7@-2wHK  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 3 yo ~  
+7.jrHwC  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ROgqa/yyT  
8(.hl*7Wm8  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Nygqn FGx  
Kw? Q $W  
　　cos（3π/2-α）= -sinα N:g \ST  
-`}<WQ2x`  
　　tan（3π/2-α）= cotα >d[]D4En7  
#d.V* CKk  
　　cot（3π/2-α）= tanα dW2DU  
 T, D&;  
　　(以上k∈Z) 2r1Axfum/  
,Bv+)sA0  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 H]UMt1  
 H^9X=g  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = :'x}b_uf_  
;Uxu ^[o8  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } kf(n7 {  
.ENcAy  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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